一个从 32 度开始关闭的圆，一只被工友随手拎来的水果筐，和一个你用硬纸板就能验证的角度。
截图来源：National Geographic Photo of the Day · 原始页面
今天国家地理每日一图的题目是《On the Court》——《在球场上》。
照片里是吉达联合的成员在练篮球。吉达联合在沙特阿拉伯的吉达，成立于 2003 年，联合创始人是 Lina Khaled Almaeena。国家地理的图注引了摄影师十年前的一句话：“我希望人们学到东西——对沙特女性的生活有更清楚的感受。”
而这篇文章想讲的，是照片里那颗球在空中要解的一道题。那道题的答案，是一个 32 度的角。
先说拍照的人
摄影师是 Lynsey Addario，美国摄影记者，1973 年 11 月 13 日生于康涅狄格州的韦斯特波特。她长期报道冲突、人道危机和女性的生活，去过阿富汗、伊拉克、利比亚、黎巴嫩、达尔富尔、南苏丹、索马里、刚果、也门、叙利亚、乌克兰。
她拿过的分量最重的两项，值得说准。
2009 年，她是《纽约时报》获得普利策国际报道奖的那个团队的一员。 需要说清的是：普利策官方记录里这一项的得主写的是“《纽约时报》全体员工”，颁奖理由是“对美国在阿富汗和巴基斯坦日益加深的军事与政治挑战的精湛而开创性的报道，其采访常在危险条件下完成”，官方名单里没有列出任何个人姓名。所以准确的说法是“她是获奖团队的一员”，不是“她个人获得了普利策奖”。2023 年她以个人身份成为普利策突发新闻摄影奖的入围者——官方理由写的是“她拍摄的一张单幅照片，记录了基辅郊区一条‘安全通道’路线上，一位乌克兰母亲、她的两个孩子和一位教会成员在迫击炮弹爆炸后倒在街上——这张照片清楚地表明俄罗斯在攻击平民。”
2009 年，她获得麦克阿瑟奖。 官方的获奖评语是：“为 21 世纪最紧迫的冲突与人道危机创造了一份有力的视觉记录。”那年她 35 岁。她还写过一本回忆录，2015 年的《我做的就是这个》。
但这篇文章想引的，是她的开头，因为它是这一整篇里最适合讲给孩子听的部分。
大约 12 岁那年，她父亲给了她一台二手的尼康 FG——是一位客户送给父亲的。她自己买了一本摄影书，自学怎么用它。一开始她太害羞，不敢拍人，于是她拍花、墓地和夜空。
后来她去威斯康星大学读国际关系和意大利语，1996 年搬去布宜诺斯艾利斯，不停地跑《布宜诺斯艾利斯先驱报》的编辑部，直到编辑们激她去拍正在拍《贝隆夫人》的麦当娜。她真去拍了，然后被雇下来——一张照片十美元。
她自己总结方法时说的第一句话是：“耐心是一切。”其余是“光，以及让人感到自在”。
一个 12 岁的孩子，一台旧相机，一本自己买的书，先拍夜空，三十年后拍下了这张球场。
现在说那颗球
篮球最好的地方在于，它把中学物理里最重要的一段——抛体运动——变成了一件每天有几亿人在做的事。
而它藏着一个比教科书更有意思的转折。
教科书会告诉你：45 度是抛得最远的角度。很多人于是以为，投篮的最佳角度应该低于 45 度。
这是错的。
45 度只在一个条件下成立：出手点和落点等高，而且忽略空气阻力。可投篮不是这样——一个球员的出手高度大约在 1.8 到 2.3 米，而篮圈在 3.050 米。目标比你的手更高，不是更低。 把目标抬高，最佳角度就会升到 45 度以上。
实测的最佳角度是多少？52 度。
这个数字来自北卡罗来纳州立大学的两位机械与航空工程学者 Larry Silverberg 和 Chau Tran，方法是“数十万次三维计算机模拟”，成果发表在《运动科学杂志》2008 年第 26 卷第 11 期。Silverberg 自己的表述是：“大约 52 度的出手角度是最好的”，因为在那个角度上“出手速度最低，而投中的概率最大”。
注意他给的理由：不是“飞得最远”，是出手速度最低、命中概率最高。
同一项研究还给了两个可以直接用的数字：
后旋每秒 3 转——也就是球从出手到入筐（约 1 秒）之间转完整整三圈。Silverberg 在另一篇科普文章里补了一句：再多就没用了。（关于后旋为什么有帮助，我在所有一手来源里都没找到明确的机制说明，所以这里只给这个数字，不解释原因。）
瞄准点：球与篮圈后沿之间留出“接近 5 厘米——约 2 英寸”。 理由 Silverberg 说得很实在：“篮圈的后沿比前沿更宽容。”
他们还有一项 2011 年的后续研究，跑了超过一百万条三维弹道，结论是：在距篮 **12 英尺（约 3.7 米）**以内、很多角度上，打板比直接投更有效，能高出约 20%；而最佳的打板瞄准点，在篮板方框顶部中央附近排成一个“V 形”。超过 12 英尺、又是正面位置时，直接投更好。
篮筐会缩小
上面那些是研究结果。而下面这一条，是你可以自己算出来的，因为它只用到官方规则里的两个数字。这是这篇文章的核心。
国际篮联的官方规则写着：
篮圈“内径最小 450 毫米、最大 459 毫米”。
篮圈上沿“水平放置，高度 3,050 毫米（公差最大 ±6 毫米）”。
7 号球（男子用球）周长 750 到 770 毫米，质量 580 到 620 克。
6 号球（女子用球）周长 715 到 730 毫米，质量 510 到 550 克。
现在想一件事。
一颗从正上方垂直落下的球，看到的篮筐是一个直径 450 毫米的圆。
但一颗斜着飞过来的球，看到的不是圆。 它看到的是一个被压扁的椭圆——因为它是斜着穿过那个平面的。压扁之后，那个椭圆的窄边宽度是：
450 毫米 × sin(入射角)
而球要干净地穿过去，这个窄边必须至少等于球的直径。也就是：
sin α ≥ 球的直径 ÷ 450
把官方数字代进去。7 号球周长取 750 到 770 的中值，直径 = 周长 ÷ π = 241.9 毫米：
sin α ≥ 241.9 / 450 = 0.538 → α ≥ 32.5 度。
这就是全部的答案：一颗球最平也只能以约 32 度的角度到达篮筐。再平一度，球就撞在圈上，不管你瞄得多准。
这是为什么全世界每一个好射手都把球抛得高高的。不是习惯，不是风格，是那个椭圆在 32 度关上了。
而垂直落下时留给球的余量是多少？450 减 242 等于 208 毫米——一颗球两侧各有十厘米的富余。所以真正的余量不是“篮筐比球大很多”，而是“篮筐比球大很多**，只要你从上面来**”。
这个公式还可以反过来验：18 英寸（约 450 毫米）的篮圈，45 度入射时有效开口 = 18 × sin45 = 12.73 英寸；30 度入射时 = 18 × sin30 = 9.00 英寸。而市面上的投篮传感器厂商公布的有效开口实测值正好是 18、12.7、9.0 英寸。公式对上了。
照片里那颗球，稍微好投一点
这一条只有这张照片配得上，因为它跟球的尺寸有关。
女子比赛用 6 号球，周长 715 到 730 毫米，直径中值 230.0 毫米。代进同一个公式：
sin α ≥ 230.0 / 450 = 0.511 → α ≥ 30.7 度。
7 号球的临界角是 32.5 度，6 号球是 30.7 度——低了 1.8 度。 而垂直落下时，6 号球在篮筐里的余量是 220 毫米，比 7 号球多出 12 毫米。
照片里那些人正在投的那个目标，比一个 NBA 球员面对的目标，宽容一点点。 一点八度，十二毫米。
这是那种在数字里才看得见的东西，但它是真的。
十英尺，是因为楼梯口正好在那儿
现在说这个 3,050 毫米是怎么来的。它的来历一点也不庄严。
按斯普林菲尔德学院（篮球诞生地）官方的记述：1891 到 1892 年的冬天，James Naismith 是这所学校——当时叫国际基督教青年会训练学校——的体育教师兼二年级研究生。他的上级 Luther Halsey Gulick 给了他一个任务：造一个“新的室内游戏，要有意思、容易学，而且能在冬天、在人工照明下玩”。
问题是学生不肯练。秋季运动季一结束，强制体操课就没人愿意上。Naismith 自己下的判断是这样一句话，我觉得它值得所有老师看一眼：
“问题不在这些人身上，而在我们正在用的这套办法上。”
然后是那个著名的细节，而它的准确版本比流传的版本更好：
Naismith 向校工要了两个 18 英寸的方形箱子。校工没有箱子，拎回来了两只桃子筐。 Naismith 把它们钉在了体育馆二层的楼廊上。
那道楼廊的高度是十英尺。
篮筐的高度是一个意外——它就是那道楼廊碰巧所在的高度。 而一百三十五年后，国际篮联的规则手册上写着 3,050 毫米。
十英尺等于 3.048 米。它从一个校工的临时替代方案，变成了全世界的标准。
第一场比赛每边九个人（三前锋、三中锋、三后卫），规则共 13 条。而 13 条里最奇特的那一条，按美国大学体育协会规则手册收录的原文是：
“球员不得带球跑。球员必须从他接到球的那一点把球投出，但对高速奔跑中接到球的人可以有所宽容。”
也就是说，最初的篮球里没有运球。
还有一条时间线值得记：篮板是 1896 到 1897 年装上的；而“网的底部被留成敞开的”，是 1913 到 1914 年。
在那之前的二十二个赛季里，每进一个球，都得有人把球取下来。（桃子筐是哪一年被换成金属圈的，规则手册里没有写，所以这里不猜。）
女子篮球也有它自己的开头。据史密斯学院图书馆的记述，Senda Berenson 在 1893 年看了一场斯普林菲尔德的青年会比赛，认为史密斯的女学生也可以打；她从 1892 年起在史密斯负责体育训练，一直到 1911 年。第一场比赛在 1893 年 3 月 22 日（周三），球员来自四个年级，二年级以 5 比 4 赢了。她后来还写了一本《女子篮球》（1903、1908 年版）。
5 比 4。 篮球刚被发明出来的时候，得分是这么低的——因为没人知道该用多大的角度投。
一些日期
关于沙特女性参与体育的时间线，这里只列官方新闻机构沙特通讯社在《沙特女性体育：从愿景到胜利》一文中给出的事实与日期，不做任何评述：
2012 年，沙特女性首次参加奥运会（伦敦），“由 Wojdan Ali Seraj 参加柔道、Sarah Attar 参加田径”。
2019 年，“设立专门的女子体育俱乐部的决定”。
2021 年，女子国家足球队成立。
2022 年，女子国家队首场国际比赛，“以 2 比 0 战胜塞舌尔”。
2022 年 10 月 13 日，女子超级联赛（足球）首个赛季开幕，“有八支球队参加”。
沙特通讯社同一篇里给出的参与数字（按其原文引述）：参与度自 2030 愿景启动以来“上升超过 150%”；“超过 33 万名女孩注册参加各类运动”；“超过 7 万名女孩参加学校联赛”；“37 支女子国家队和 97 名持证女性教练”；“400 多家女子俱乐部”。
另有一个日期：女性首次进入沙特体育场观看足球比赛是 2018 年 1 月 12 日（周五），地点在吉达的阿卜杜拉国王体育城。（这一条来自沙特本地报纸《阿拉伯新闻》；该报道没有给出政策公布的日期或发布机构，所以这里不写。）
沙特政府 2030 愿景下的“生活质量计划”官方 PDF 里，有一组可以直接引用的量化目标：每周参加体育运动的人口比例，2017 年基准 31%，2023 年目标 35.9%，2030 年目标 40%；体育产业占 GDP 比重从 0.1% 到 1.0%；奥运会参赛人数从 2016 年的 7 人到 2030 年的 50 人。
关于吉达联合本身，有一处需要更正的地方，而更正的方向是它自己的说法比图注更谨慎。
国家地理的图注称它是“沙特第一个同时包含两种性别运动员的体育联盟”。这个描述在吉达联合自己的网站、国际篮联的报道，以及沙特本地报纸的报道里都找不到对应说法。
它自己的表述是：“一家在沙特阿拉伯获得 A 级认证的、经认可的体育学院。”国际篮联的说法与之一致，并补充它“推广面向女性、青少年和男性的篮球与体育运动”，并且“孵化了约十家学院和训练团体，其中九家仍在运营”。
它自己给出的几个“第一”也更具体：2006 年，沙特第一个女子街头篮球赛；2018 年，第一支在沙特篮协下参加阿拉伯女子体育锦标赛的本地女子球队；2019 年，沙特历史上第一支女子篮球国家队里，有六名球员来自吉达联合。
另外，创始人 Lina Khaled Almaeena 于 2016 年由国王萨勒曼任命进入协商会议（据沙特媒体报道；协商会议官网本身未能核到这条）。她在乔治梅森大学读传播学本科，在伦敦美国大学读心理学硕士。
（⚠️ 一件查不到的事：沙特是否有官方的女子篮球联赛，在沙特通讯社的女性体育时间线和国际篮联的报道里都找不到。能确认的是 2019 年成立了女子篮球国家队。已核实存在官方联赛的是足球。所以这里不写篮球联赛。）
中国桥
中国女篮的奥运成绩，按国际篮联的官方记录是：1984 年首次参加奥运会女子篮球，获得第三名（铜牌）；1992 年巴塞罗那获得银牌，这是最好的奥运成绩。另外，2022 年女篮世界杯，中国队打进了决赛。主管机构是中国篮球协会。
至于孩子在哪里练球，教育部有三份可以直接查到的官方文件：
第一批，教体艺厅函〔2017〕49 号，2017 年 10 月 27 日：“现认定并命名北京市东城区和平里第一小学等 1976 所中小学校为第一批全国青少年校园篮球特色学校”。
2018 年，教体艺厅函〔2018〕89 号，11 月 30 日：“现认定并命名北京市第一七一中学等 1942 所中小学校为全国青少年校园篮球特色学校。”
2020 年，教体艺厅函〔2020〕34 号，10 月 23 日：“教育部认定并命名篮球体育传统特色学校 2796 所”——注意这一批把类别改名为“体育传统特色学校”，并把篮球、排球、冰雪合并公布。
这个项目是从 2017 年开始的。 三批是三次独立认定，命名口径在 2020 年变过，所以这里不做累加。
（另外，三人篮球的奥运首秀是东京奥运会，比赛实际在 2021 年举行——这一条来自国际篮联官方；中国三人篮球的具体成绩与项目情况本次未能从官方来源核实，所以不写。）
最后
1891 年冬天，一个体育老师想让一群不肯上课的学生动起来。他要两个箱子，得到两只桃子筐，把它们钉在了楼廊上。楼廊碰巧在十英尺高的地方。
一百三十五年后，那个高度写在国际篮联的规则手册里，精确到毫米：3,050。
而每一颗要穿过那个圈的球，都得遵守同一个几何：篮筐是一个圆，只有当你从正上方落进去的时候。 斜着来，它就是一个椭圆；平到 32 度，它就关上了。
照片里那些人正在做的事，是一遍一遍地把角度找对。她们不需要知道 52 度这个数字——身体会自己找到它，因为在那个角度上，出手最省力，进的机会最大。
图片：国家地理每日一图（Nat Geo Photo of the Day）· 摄影 Lynsey Addario, Nat Geo Image Collection · 原始页面。
资料来源
国家地理每日一图 2026 年 8 月 28 日页面、国家地理杂志（Becky Harlan《Being Modern—and Female—in Saudi Arabia》2016 年 1 月 22 日；Cynthia Gorney《The Changing Face of Saudi Women》2016 年 2 月号）、Lynsey Addario 官方网站、Academy of Achievement 访谈档案、普利策奖官方获奖与入围名单、麦克阿瑟基金会、北卡罗来纳州立大学新闻中心、Tran & Silverberg《Journal of Sports Sciences》26(11) (2008)、Silverberg、Tran & Adams《Journal of Quantitative Analysis in Sports》7(1) (2011)、《Scientific American》、Barzykina, arXiv:1702.07234 (2017)、国际篮联《官方篮球规则》与篮球器材规格、斯普林菲尔德学院官方页面、美国大学体育协会男子篮球规则手册（历史部分）、史密斯学院图书馆、吉达联合官方网站、国际篮联新闻、《阿拉伯新闻》、沙特通讯社、沙特 2030 愿景生活质量计划官方文件、NASA 教育材料《Museum in a Box: Ball Launcher》、中华人民共和国教育部（教体艺厅函〔2017〕49 号、〔2018〕89 号、〔2020〕34 号）、中国政府网